功
一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功.人推车前进，车在人的推力作用下发生一段位移，推力对车做了功.起重机提起货物，货物在起重机钢绳的拉力作用下发生一段位移，拉力对货物做了功.列车在机车的牵引力作用下发生一段位移，牵引力对列车做了功.力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素.
功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的.力越大，位移越大，所做的功就越大.如果力的方向与物体运动的方向一致，功就等于力的大小和位移的大小的乘积.用F表示力的大小，用s表示位移的大小，用W表示力F所做的功，则有
W＝Fs.
当力F的方向与运动方向成某一角度时，可以把力F分解为两个分力：跟位移方向一致的分力F1，跟位移方向垂直的分力F2.设物体在力F的作用下发生的位移的大小是s，则分力F1所做的功等于F1s.分力F2的方向跟位移的方向垂直，物体在F2的方向上没有发生位移，F2所做的功等于零.因此，力F对物体所做的功W等于F1s，F1＝Fcosα，所以
W＝Fscosα.
这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积.
功是一个标量.在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J.1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m的位移时所做的功.
1J＝1N×1m＝1N·m.
正功和负功
现在我们讨论一下功的公式：
方向垂直时，力F不做功.
一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）.这两种说法在意义上是等同的.例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了－6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功.
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移s时，这几个力对物体所做的总功，等于各个力分别对物体所做的功的代数和.例如,在水平面上运动的物体受到四个力的作用：重力G,拉力F，滑动摩擦力f,支持力N.重力和支持力不做功，因而外力所做的总功W总等于拉力F和滑动摩擦力f所做的功的代数和：W＝Fscosα－fs.
可以证明，当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于这几个力的合力对物体所做的功.
【例题】一个质量m＝2kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F＝10N，在水平地面上移动的距离s＝2m.物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3.求：
（1）拉力F对物体所做的功.
（2）摩擦力f对物体所做的功.
（3）外力对物体所做的总功.
不同物体做相同的功，所用的时间往往不同，也就是说，做功的快慢并不相同.一台起重机能在1min内把1t的货物提到预定的高度，另一台起重机只用30s就可以做相同的功.第二台起重机比第一台做功快一倍.
在物理学中，做功的快慢用功率来表示.功W跟完成这些功所用时间t的比值叫做功率.用P表示功率，则有
在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W.1W＝1J／s.瓦这个单位比较小，技术上常用千瓦（kW）作功率的单位.1kW＝1000W.
功率也可以用力和速度来表示.
P＝Fv．
这就是说，力F的功率等于力F和物体运动速度v的乘积.物体做变速运动时，上式中的v表示在时间t内的平均速度，P表示力F在这段时间t内的平均功率.如果时间t取得足够小，则上式中的v表示某一时刻的瞬时速度，P表示该时刻的瞬时功率.
从公式P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度.所以汽车上坡的时候，司机常用换挡的办法减小速度，来得到较大的牵引力.
当速度v保持一定时，牵引力F与功率P成正比.所以汽车上坡时，要保持速度不变，必须加大油门，增大输出功率来得到较大的牵引力.
保持牵引力F不变时，功率P与速度v成正比.起重机在竖直方向匀速吊起某一重物时，牵引力与重物的重量相等，牵引力保持不变，发动机输出的功率越大，起吊的速度就越大.
【例题】质量m＝3kg的物体，在水平力F＝6N的作用下，在光滑水平面上从静止开始运动，运动时间t＝3s.求：
a.力F在t＝3s内对物体所做的功.
b.力F在t＝3s内对物体做功的平均功率.
c.在3s末，力F对物体做功的瞬时功率.
功和能是两个联系密切的物理量.一个物体能够对外做功，我们就说这个物体具有能量.流动的河水能够推动水轮机做功，流动的河水具有能量.举到高处的重物下落时能够把木桩打进地里而做功，举高的重物具有能量.被压缩的弹簧放开时能够把物体弹开而做功，被压缩的弹簧具有能量.
我们知道，各种不同形式的能量可以相互转化，而且在转化过程中守恒.在这种转化过程中，功扮演着重要的角色.
举重运动员把重物举起来，对重物做了功，
重物的重力势能增加，同时，运动员消耗了体内的化学能.运动员做了多少功，就有多少化学能转化为重力势能.
被压缩的弹簧放开时把一个小球弹出去，小球的动能增加，同时，弹簧的势能减少.弹簧对小球做了多少功，就有多少弹性势能转化为动能.
列车在机车的牵引下加速运动，列车的机械能增加，同时，机车的热机消耗了内能.牵引力对列车做了多少功，就有多少内能转化为机械能.
起重机提升重物，重物的机械能增加，同时，起重机的电动机消耗了电能.起重机钢绳的拉力对重物做了多少功，就有多少电能转化为机械能.
可见，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化.所以，功是能量转化的量度.知道了功和能的这种关系，就可以通过做功的多少，定量地研究能量及其转化的问题了.下面我们定量地研究机械能.
动能
物体由于运动而具有的能量叫做动能.物体的动能跟物体的质量和速度都有关系.
实验表明，物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大.怎样定量地表示动能呢？
设一个物体的质量为m，初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移s，速度增加到v2.在这一过程中，力F所做的功W＝Fs.
根据牛顿第二定律有F＝ma；
根据匀加速运动的公式v22－v12＝2as
s＝（v22－v12）／2a.
则有
物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半.
动能是标量，它的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳.这是因为，1kg·m2／s2＝1N·m＝1J.
例如，我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，轨道速度
动能定理
有了动能的定量表示，上面的（1）式可以写成
上式表示，外力所做的功等于动能的变化.当外力做正功时，末动能大于初动能，动能增加.当外力做负功时，末动能小于初动能，动能减少.
如果物体受到几个力的共同作用，则（2）式中的W表示各个力做功的代数和，即合外力所做的功.
合外力所做的功等于物体动能的变化. 这个结论叫做动能定理.这里所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他的力.
上述（2）式是在物体受到恒力的作用，且物体做直线运动的情况下得到的.可以证明，当外力是变力，物体做曲线运动时，（2）式也是正确的.这时（2）式中的W为变力所做的功.正因为动能定理适用于变力，所以它得到了广泛的应用，经常用来解决有关的力学问题.
【例题】一架喷气式飞机，质量m＝5.0×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s＝5.3×102m时，达到起飞速度v＝60m／s.在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k＝0.02）.求飞机受到的牵引力.
物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能.打桩机的重锤从高处落下时可以把水泥桩打进地里，重锤具有重力势能.重力势能跟物体的质量和高度都有关系.重锤的质量越大，被举得越高，把水泥桩打进地里越深.可见，物体的质量越大，高度越大，重力势能就越大.怎样定量地表示重力势能呢？
重力势能
把一个物体举高，要克服重力做功，同时物体的重力势能增加.一个物体从高处下落，重力做功，同时重力势能减小.可见，重力势能跟重力做功有密切联系.
设一个质量为m的物体从高度为h1的A点下落到高度为h2的B点.重力所做的功为
WG＝mg△h＝mgh1－mgh2.
（1）
我们看到，WG等于mgh这个量的变化.在物理学中就用mgh这个物理量表示物体的重力势能.重力势能用EP来表示，即
EP＝mgh.
重力势能是标量.它的单位也和功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳.
有了重力势能的定量表示，（1）式就可以写成
WG＝EP1－BP2.
（2）
其中EP1＝mgh1表示初位置的重力势能，EP2＝mgh2表示末位置的重力势能.
当物体由高处运动到低处时，重力做正功，WG＞0，EP1＞EP2.这表示重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功.
当物体由低处运动到高处时，重力做负功，WG＜0，EP1＜EP2.这表示克服重力做功（重力做负功）时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功.
在上面的讨论中，物体是沿着直线路径由初位置达到末位置的.可以证明：重力所做的功只跟初位置的高度h1和末位置的高度h2有关，跟物体运动的路径无关.只要起点和终点的位置相同，不论沿着什么路径由起点到终点，沿着直线路径也好，沿着曲线路径也好，（2）式都是正确的.
重力势能的相对性
我们说物体具有重力势能mgh，这总是相对于某个水平面来说的，这个水平面的高度为零，重力势能也为零，这个水平面叫做参考平面.选择哪个水平面作为参考平面，可视研究问题的方便而定.通常选择地面作为参考平面.
选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是不同的，但这并不影响研究有关重力势能的问题.因为在有关的问题中，有确定意义的是重力势能的差值，这个差值并不因选择不同的参考平面而有所不同.
对选定的参考平面而言，在参考平面上方的物体，高度是正值，重力势能也是正值；在参考平面下方的物体，高度是负值，重力势能也是负值.物体具有负的重力势能，表示物体在该位置具有的重力势能比在参考平面上具有的重力势能要少.
弹性势能
发生弹性形变的物体，在恢复原状时能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能.卷紧了的发条，被拉伸或压缩的弹簧，拉弯了的弓，击球时的网球拍或羽毛球拍，支撑运动员上跳的撑杆等，都具有弹性势能.
弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关，被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状时对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大.弹簧的弹性势能还跟弹簧的劲度有关，被拉伸或压缩的长度相同时，劲度大的弹簧的弹性势能大.
势能也叫位能，是由相互作用的物体的相对位置决定的.重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的，弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的.
机械能守恒定律
重力势能和动能之间可以发生相互转化.物体自由下落时，高度越来越小，速度越来越大.高度减小，表示势能减小；速度增大，表示动能增大.这时重力势能转化为动能.竖直向上抛出的物体，在上升过程中，速度越来越小，高度越来越大.速度减小，表示动能减小；高度增大，表示重力势能增大.这时动能转化为重力势能.
现在，我们以自由落体运动为例证明机械能守恒定律.如图所示，设一个质量为m的物体自由下落，经过高度为h1的A点（初位置）时速度为v1，下落到高度为h2的B点（末位置）时速度为v2.在自由落体运动中，物体只受重力G＝mg的作用，重力做正功.设重力所做的功为WG，则由动能定理可得
上式表示，重力所做的功等于动能的增加.
另一方面，由重力做功与重力势能的关系知道，
WG＝mgh1－mgh2. （2）
上式表示，重力所做的功等于重力势能的减少.
由（1）式和（2）式可得
可见，在自由落体运动中，重力做了多少功，就有多少重力势能转化为等量的动能.移项后可得，
或者 Ek2＋EP2＝Ek1＋EP1. （4）
上式表示，在自由落体运动中，动能和重力势能之和即总的机械能保持不变.
上述结论不仅对自由落体运动是正确的，可以证明，在只有重力做功的情形下，不论物体做直线运动还是曲线运动，上述结论都是正确的.
所谓只有重力做功，是指：物体只受重力，不受其他的力，如自由落体运动和各种抛体运动；或者除重力外还受其他的力，但其他力不做功，如物体沿光滑斜面的运动.
在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变.
这个结论叫做机械能守恒定律.它是力学中的一条重要定律，是更普遍的能量守恒定律的一种特殊情况.
不仅重力势能和动能可以相互转化，弹性势能和动能也可以相互转化.放开被压缩的弹簧，可以把跟它接触的小球弹出去，这时弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为小球的动能.在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，动能和弹性势能之和保持不变，即机械能守恒.
机械能守恒定律的应用
解决某些力学问题，从能量的观点来分析，应用机械能守恒定律求解，往往比较方便.应用机械能守恒定律解决力学问题，要分析物体的受力情况.在动能和重力势能的相互转化中，如果只有重力做功，就可以应用机械能守恒定律求解.
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【例题1】一物体从光滑斜面顶端由静止开始滑下，斜面高1m，长2m.不计空气阻力，物体滑到斜面底端的速度是多大？
【例题2】把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆.摆长为L，最大偏角为θ.小球运动到最低位置时的速度是多大？
