曲线运动是人们常见的运动形式，如运动员掷出的铁饼是沿着曲线运动的，发射出的导弹在空中是沿着曲线飞行的，汽车拐弯时的运动是曲线运动，地球、月球、人造地球卫星沿轨道的运动是曲线运动。曲线运动要比直线运动复杂。
曲线运动的速度方向
曲线运动中速度的方向是时刻改变的.怎样确定做曲线运动的物体在任意时刻速度的方向呢？
我们先来观察一些常见的现象。
在砂轮上磨刀具，可以看到，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的切线方向飞出.这些火星是从刀具与砂轮接触处擦落的炽热的微粒，由于惯性，它们以被擦落时具有的速度做直线运动，因此，火星飞出的方向就表示砂轮上跟刀具接触处的质点的速度方向.
让撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转，伞面上的水滴随伞做曲线运动.当水滴从伞边飞出时，可以看到水滴是沿着伞边各点所划圆周的切线方向飞出的.
可见，曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向.所以曲线运动是变速运动.
物体做曲线运动的条件
物体在什么情况下才做曲线运动呢？
让我们来观察下面的实验.
一个在水平面上做直线运动的钢珠，如果从旁侧给它施加一个侧向力，它的运动方向就会改变.不断对钢珠施加侧向力，或者在钢珠运动的路线旁放一块磁铁，钢珠就偏离原来的运动方向而做曲线运动.
实验表明：当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动.
运动物体的加速度的方向跟它所受合外力的方向相同.所以，做曲线运动的物体，它的加速度的方向跟它的速度方向也不在同一直线上.
水平抛出的石子，由于所受重力的方向跟速度的方向不在一条直线上，所以石子做曲线运动.人造地球卫星绕地球运行，由于所受地球引力的方向跟速度的方向不在一条直线上，所以卫星做曲线运动.
物体做曲线运动的条件，可以根据牛顿第二定律来说明.如果合外力的方向跟物体速度的方向在同一条直线上，产生的加速度的方向也在这条直线上，物体就做直线运动.如果合外力的方向跟速度的方向不在一条直线上，而是成一角度，产生的加速度的方向也跟速度的方向不在一条直线上，而是成一角度，这时，合外力就不但可以改变速度的大小，而且可以改变速度的方向，物体就做曲线运动.
一个复杂的运动可以看成是几个简单运动的合成。
实验 红蜡块的运动可以看成同时参与了下面两个运动：在玻璃管中竖直向上的运动（由A到B）和随玻璃管水平向右的运动（由A到 D）.红蜡块实际发生的运动（由A到 C）是这两个运动合成的结果.
上述实验中红蜡块沿玻璃管在竖直方向的运动和随管做的水平方向的运动，通常叫做分运动.红蜡块实际发生的运动（由A到C），通常叫做合运动，合运动可以看作是上述两个分运动合成的结果.
在上述实验中，合运动和分运动是同时发生的，所用的时间t相同. 合位移s是按照平行四边形定则由分位移s1和s2合成的，即合位移s是两个分位移s1和s2的矢量和.
速度、加速度也是矢量，合运动的速度、加速度也是两个分运动的速度、加速度的矢量和.
已知分运动求合运动，叫做运动的合成.已知合运动求分运动，叫做运动的分解.
如果两个分运动都是匀速直线运动，由于分速度矢量是恒定的，合速度矢量也是恒定的，所以合运动应该是匀速直线运动.但是，如果一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，则合运动就不能做直线运动了，而是曲线运动.
我们看到，两个直线运动的合运动可以是曲线运动.反过来，一个曲线运动也可以分解为两个方向上的直线运动.分别研究这两个方向上的受力情况和运动情况，弄清作为分运动的直线运动的规律，就可以知道作为合运动的曲线运动的规律.我们将用这种办法研究平抛运动.
平抛物体的运动
将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动.打一下桌上的小球，使它以一定的水平初速度离开桌面，小球离开桌面后所做的曲线运动就是平抛运动.在平抛运动中，物体受到与速度方向成角度的重力作用，所以做曲线运动.
平抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动.在水平方向（也就是在初速度方向）上物体不受力，物体由于惯性而做匀速直线运动，速度等于平抛物体的初速度.在竖直方向上物体受到重力的作用，并且初速度为零，物体做自由落体运动.情况是不是这样呢？我们来看下面的实验.
实验中，越用力打击金属片，A球的水平速度也越大，它飞出的水平距离就越远.但是，无论A球的初速度大小如何，它总是与B球同时落地.
实验表明，平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，水平方向速度的大小并不影响平抛物体在竖直方向上的运动.
我们还可以用频闪照相的方法更精细地研究平抛运动.此图是一幅平抛物体与自由落体对比的频闪照片.可以看出，尽管两个球在水平方向上的运动不同，但它们在竖直方向上的运动是相同的，即经过相等的时间，落到相同的高度.仔细测量平抛出去的球在相等时间里前进的水平距离，可以证明平抛运动的水平分运动是匀速的.这说明竖直方向的运动也不影响水平方向的运动.
平抛运动的规律
既然平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，我们就可以分别算出平抛物体在任一时刻t的位置坐标x和y.取水平方向为x轴，正方向与初速度v的方向相同.取竖直方向为y轴，正方向向下.取抛出点为坐标原点.加速度方向与y轴正方向相同，所以是正值，即a＝g.物体在任何时刻t的位置坐标可以由下面的公式求出：
根据这两个公式求出任一时刻物体的位置，用平滑曲线把这些位置连起来，就得到平抛运动的轨迹，这个轨迹是一条抛物线.
平抛物体在t秒末时的水平分速度vx和竖直分速度vy分别为
vx＝v0,
vy＝gt.
t秒末的速度vt的大小为
【例题】飞机在高出地面0.81km的高度，以2.5×102km／h的速度水平飞行.为了使飞机上投下的炸弹落在指定的目标上，应该在与轰炸目标的水平距离为多远的地方投弹？不计空气阻力.
物体沿圆周运动是一种常见的曲线运动.在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动.
质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动.例如，匀速转动着的砂轮上每个质点的运动，都是匀速圆周运动.地球和各个行星绕太阳公转的轨道是跟圆近似的椭圆，在初步研究中，可以认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动.
描述匀速圆周运动的物理量
1.线速度
匀速圆周运动的快慢，可以用线速度来描述. 对某一匀速圆周运动来说，弧长s与通过这段弧长的时间t的比值，是匀速圆周运动的线速度的大小，用符号v表示，则有
线速度是矢量，不仅有大小，而且有方向.线速度的方向就在圆周该点的切线方向上.
线速度就是物体做圆周运动的瞬时速度.在匀速圆周运动中，物体在各个时刻的线速度的大小都相等，而线速度的方向是在不断变化的，因此，匀速圆周运动是一种变速运动.
2.角速度
匀速圆周运动的快慢也可以用角速度来描述.半径转过的角度φ跟所用时间t的比值叫做匀速圆周运动的角速度，用符号ω来表示，则有
我们知道，圆心角φ与弧长s成正比，所以对某一确定的匀速圆周运动来说，φ与t的比值ω是恒定不变的.
角速度的单位由角度和时间的单位决定.在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad／s.
3.周期
匀速圆周运动是一种周期性的运动.所谓周期性，是指运动物体经过一定时间后，又重复回到原来的位置，瞬时速度也重复回到原来的大小和方向.做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.周期用符号T表示.周期也是描述匀速圆周运动快慢的物理量，周期长说明物体运动得慢，周期短说明物体运动得快.
周期的倒数叫做频率，用符号f表示.f＝1／T.频率高说明物体运动得快，频率低说明物体运动得慢.
实际中也常用转速来描述匀速圆周运动的快慢.所谓转速，是指每秒转过的圈数，常用符号n来表示.转速的单位为转每秒，符号是r／s，以及转每分（r／min）.
线速度、角速度、周期间的关系
线速度、角速度和周期都可以用来描述匀速圆周运动的快慢，它们之间的关系是怎样的呢？
设物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，则一个周期T内转过的弧长为2πr，转过的角度为2π，所以线速度和角速度分别为
由（1）式和（2）式可得
向心力
物体做曲线运动时，必定受到与速度方向不在同一直线上的合外力的作用.匀速圆周运动是曲线运动，做匀速圆周运动的物体必定也受到与速度方向不在同一直线上的合外力的作用.这个合外力是怎样的呢？
例如在光滑水平桌面的O点固定一根钉子，把绳的一端套在钉子上，另一端系一个小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动.小球之所以能绕着O点做匀速圆周运动，是因为绳对小球始终有一个拉力F，这个拉力的方向虽然不断变化，但总是沿着半径指向圆心，所以叫做向心力.
向心力指向圆心，而物体运动的方向沿切线方向，所以向心力的方向总与物体运动的方向垂直.物体在运动方向上不受力，在这个方向上没有加速度，速度大小不会改变，所以向心力的作用只是改变速度的方向.
向心力的大小与哪些因素有关呢？
1.用质量不同的钢球和铝球做实验，使两球运动的半径r和角速度ω相同.可以看出，向心力的大小与质量有关，质量越大，所需的向心力就越大.
2.换用两个质量相同的小球做实验，保持它们运动的半径相同.可以看出，向心力的大小与转动的快慢有关，角速度越大，所需向心力也越大.
3.仍用两个质量相同的小球做实验，保持小球运动角速度相同.可以看出，向心力的大小与小球运动的半径有关，运动半径越大，所需的向心力越大.
实验表明，向心力的大小跟物体的质量m、圆周半径r和角速度ω都有关系. 可以证明，匀速圆周运动所需的向心力大小为
F＝mrω2（1）
向心加速度
做圆周运动的物体，在向心力F的作用下，必然要产生一个加速度，这个加速度的方向与向心力的方向相同，总指向圆心，叫做向心加速度.根据牛顿第二定律F＝ma，由（1）式和（2）式可得向心加速度a的大小为
对于某一确定的匀速圆周运动来说，m以及r、v的大小、ω都是不变的，所以向心力和向心加速度的大小不变，但向心力和向心加速度的方向却时刻在改变.匀速圆周运动是瞬时加速度矢量的方向不断改变的变速运动.
匀速圆周运动的实例分析
分析和解决匀速圆周运动的问题，重要的是把向心力的来源弄清楚.
向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力. 下面分析一些实例.
1.火车转弯
在平直轨道上匀速行驶的火车，所受的合外力等于零.在火车转弯时，是什么力作为向心力的呢？原来，火车的车轮上有突出的轮缘，如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是使火车转弯的向心力.火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.
如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，成为使火车转弯的力.这就减轻了轮缘与外轨的挤压.在修筑铁路时，要根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力F来提供. 这样，外轨就不受轮缘的挤压了.
2.汽车过拱桥
在各种公路上拱形桥是常见的，质量为m的汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为R，我们来分析汽车通过桥的最高点时对桥面的压力.
汽车在竖直方向受到两个力的作用：重力G和桥的支持力F1.当汽车在此静止不动时，G和F1相互平衡，合力为零.当汽车在桥上运动经过最高点时，G和F1在一条直线上，它们的合力是使汽车做圆周运动的向心力F，方向竖直向下.所以
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等.由上式可以看出这个压力小于汽车的重量G.
根据上面的分析可以看出，汽车行驶的速度越大，汽车对桥的压力越小.当汽车的速度不断增大时，汽车有可能“飞”起来.
当汽车通过凹形桥最低点时,这时对桥的压力比汽车的重量要大.
*3.圆锥摆
在细绳的下端拴一个小球，绳的上端固定,使小球在水平面内做圆周运动，细绳沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆.增大小球绕圆心O的角速度ω，细绳与竖直方向的夹角θ将随着增大.为什么会发生这种现象呢？
设小球的质量为m，细绳长为l，小球沿半径为r的圆周运动.小球受两个力的作用，即重力G＝mg和绳的拉力F1，这两个力的合力F就是使小球做匀速圆周运动的向心力.由图可知F＝G
tanθ＝mg tanθ，由向心力公式F＝mrω2可得
mg tanθ＝mrω2.
由图可知，r＝l sinθ，代入上式，并消去m得
g tanθ＝lω2sinθ.
由此可得θ与ω的关系
由上式看出，ω越大cosθ越小，角θ越大.θ的变化范围是0＜θ＜π／2．
离心运动
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向，它所以没有飞去是因为向心力持续地把物体拉到圆周上来，使物体同圆心的距离保持不变.一旦向心力突然消失，例如细绳突然断了，物体就沿切线方向飞去，离圆心越来越远.
除了向心力突然消失这种情况外，在合外力F不足以提供物体做圆周运动所需的向心力（F＝mrω2）时，物体也会逐渐远离圆心.这时物体虽然不会沿切线方向飞去，但合外力不足以把它拉到圆周上来，物体就沿着切线和圆周之间的某条曲线运动，离圆心越来越远.
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.这种运动叫做离心运动.
离心运动的应用和防止
离心运动有很多应用，离心干燥器就是利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉的装置，在纺织厂里用来使棉纱、毛线或纺织品干燥.把湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，
网笼转得比较慢时，水滴跟物体的附着力F足以提供所需的向心力F，使水滴做圆周运动.当网笼转得比较快时，附着力F不足以提供所需的向心力F，于是水滴做离心运动，穿过网孔，飞到网笼外面.洗衣机的脱水筒也是利用离心运动把湿衣服甩干的.
我们知道，体温计盛水银的玻璃泡上方有一段非常细的缩口，测过体温后，升到缩口上方的水银柱因受缩口的阻力不能自动缩回玻璃泡里.在医院里将许多用过的体温计装入小袋内放在离心机上，转动离心机，把水银柱甩回玻璃泡里.当离心机转得比较慢时，缩口的阻力F足以提供所需的向心力，缩口上方的水银柱做圆周运动.当离心机转得相当快时，阻力F不足以提供所需的向心力，水银柱做离心运动而进入玻璃泡内.
在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的.如果转弯时速度过大，所需向心力F大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故.因此，在公路弯道处，车辆行驶不允许超过规定的速度.
高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速，如果转速过高，砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力时，离心运动会使它们破裂，甚至酿成事故.
在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法.地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；日心说则相反，认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动.
由于地心说比较符合人们的日常经验（太阳从东边升起，从西边落下，太阳绕地球运动），同时也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以地心说统治了人们很长时间.波兰天文学家哥白尼wlxs142_01提出日心说，但教会禁止传播哥白尼的学说,并残酷迫害接受日心说的人.
随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多.如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了.因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误.
无论地心说也好，日心说也好，古人把天体的运动看得都很神圣.认为天体的运动必然是最完美、和谐的匀速圆周运动，天体的运动与地面上的运动所遵循的规律也应不同.德国天文学家开普勒wlxs137_01（ 1571－1630）在最初研究他的导师——丹麦伟大的天文学家第谷wlxs140_01（1546－1601）连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据时，也是以行星绕太阳做匀速圆周运动的模型来思考问题的，但是所得结果却与第谷的观测数据至少有8′的角度误差.当时公认的第谷的观测误差不超过2′，开普勒想，这不容忽视的8′也许是因为人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的.至此，人们长期以来视为真理的观念──天体做匀速圆周运动，第一次受到了怀疑.后来开普勒又仔细研究了第谷的观测资料，经过四年多的刻苦计算，先后否定了19种设想，最后终于发现：所有的行星围绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆，并先后发表了关于行星运动的三条定律：
1. 所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳是在这些椭圆的一个焦点上.
2. 太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积.
3. 
所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等.若用R代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，由上面的叙述可知
比值k是一个与行星无关的常量.
开普勒关于行星运动的确切描述不仅使人们在解决行星的运动学问题上有了依据，更澄清了人们多年来对天体运动神秘、模糊的认识，同时也推动了对天体动力学问题的研究.
万有引力定律
对行星怎样运动的问题了解得比较清楚之后，人们便开始更深入地思考行星“为什么这样运动？”的问题.这类问题在17世纪前就有人思考过，但是由于当时人们的认识所限，多数人都认为，圆周运动是最完美的，因而神圣和永恒的天体必然应该做匀速圆周运动，无需什么动因.到了开普勒时代，开始萌发出许多关于天体运动不同的动力学解释.例如伽利略认为一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动；开普勒认为，行星绕太阳运动，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用；法国物理学家笛卡儿wlxs135_01（1596－1650）认为行星的运动是因为在行星的周围有旋转的物质（以太）作用在行星上，使得行星围绕太阳运动.牛顿同时代的一些科学家，如胡克wlxs147_01、哈雷等对这一问题的认识则更进一步.胡克等人认为，行星围绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受的引力的大小跟行星到太阳的距离的二次方成反比.但是他们无法证明在椭圆轨道下，引力也遵循同样的规律，更没能严格地证明这种引力的一般规律.
牛顿wlxs146_01在前人研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明了：如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆.并且阐述了普遍意义下的万有引力定律.
下面让我们来看一下牛顿是怎样发现万有引力定律的.因为行星的椭圆轨道可以近似地看作圆形轨道，所以为了较方便地说明问题，我们把牛顿在椭圆轨道下证明的问题简化为在圆形轨道下来讨论.
如果认为行星绕太阳做匀速圆周运动，那么，太阳对行星的引力F应为行星所受的向心力，即
式中r是太阳和行星间的距离，v是行星运动的线速度，m是行星的质量.
结论：行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比.
根据牛顿第三定律，行星吸引太阳的力跟太阳吸引行星的力，大小相等并且具有相同的性质.牛顿认为，既然这个引力与行星的质量成正比，当然也应该和太阳的质量成正比.因此，如果用m′表示太阳的质量，那么有
G是一个常量，对任何行星都是相同的.
牛顿还研究了月球绕地球的运动，发现它们间的引力跟太阳与行星间的引力遵循同样规律.
牛顿在研究了这许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律：
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.
如果用m1和m2表示两个物体的质量，用r表示它们的距离，那么，万有引力定律可以用下面的公式来表示：
式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N.G为常数，叫做引力常量，适用于任何两个物体，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，引力常量的标准值为G＝6.67259×10－11N·m2／kg2，通常取G＝6.67×10－11N·m2／kg2.
万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体，就是指两个质点的距离；对于均匀的球体，指的是两个球心的距离.
万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一.它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来，对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响.它第一次揭示了自然界中一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑.
万有引力定律的发现，在文化发展史上也有重要的意义.在牛顿时代以前，人们认为天体的运动隐藏着不可认识的规律.牛顿的出色工作使人们建立了信心：人们有能力理解天地间的各种事物.这种信心解放了人们的思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用.
引力常量的测定
牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量.这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它显示出来.
1789年，即在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许wlxs124_01（1731－1810），巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量.
卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T型架，倒挂在一根金属丝的下端.T形架水平部分的两端各装一个质量是m的小球，T形架的竖直部分装一面小平面镜M，它能把射来的光线反射到刻度尺上，这样就能比较精确地测量金属丝的扭转.
实验时，把两个质量都是m′的大球放在图中所示的位置，它们跟小球的距离相等.由于m受到m′的吸引，T形架受到力矩作用而转动，使金属丝发生扭转，产生相反的扭转力矩，阻碍T形架转动.当这两个力矩平衡时，T形架停下来不动.这时金属丝扭转的角度可以从小镜M反射的光点在刻度尺上移动的距离求出，再根据金属丝的扭转力矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时的扭转力矩，进而求得m与m′的引力F.卡文迪许经过多次实验，证明牛顿的万有引力定律是正确的，并测出了引力常量.他的实验结果跟现代测量结果是很接近的.
引力常量的测出有着非常重要的意义，不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用价值.
由于引力常量很小，我们日常接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难觉察到它们之间的引力.例如两个质量各为50 kg的人，相距 1m时，他们相互的引力只相当于几百粒尘埃的重量.但是如果物体的质量很大，这个引力就非常可观了.例如地球对地面上物体的引力就很显著.太阳和地球之间的吸引力就更大，大约等于 3.56×1022N.这样大的力如果作用在直径是9 000 km的钢柱两端，可以把它拉断！正是由于太阳对地球有这样大的引力，地球才得以围绕太阳转动而不离去.
万有引力定律在天文学上的应用
天体之间的作用力，主要是万有引力.万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用.
1.天体质量的计算 应用万有引力定律可以计算天体的质量.基本思路是：根据行星（或卫星）运动的情况，求出行星（或卫星）的向心加速度，而向心力是由万有引力提供的，这样，列出方程即可求得中心天体（太阳或行星）的质量.
假设m′是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是它们之间的距离，T是行星公转的周期，那么行星做匀速圆周运动所需的向心力为
由此可以解出
如果测出行星的公转周期T以及它和太阳的距离r，就可以算出太阳的质量.例如，地球绕太阳公转的轨道半径是1.50×1011m，公转的周期是3.16×1O7s，所以太阳的质量为
同理，根据月球绕地球运转的轨道半径和周期，可以计算出地球的质量是5.89×1024 kg.
2.发现未知天体
海王星的发现是应用万有引力定律取得辉煌成就的例子.
在18世纪，人们已经知道太阳系有7个行星，其中1781年发现的第七个行星──天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有比较大的偏离.当时有人推测，在天王星轨道外面还有一个未发现的行星，它对天王星的作用引起了上述偏离.英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维列根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道.1846年9月23日晚，德国的加勒在勒维列预言的位置附近发现了这颗新行星.后来，天文学家把这个行星叫做海王星.
用同样的方法，在1930年3月14日，人们发现了太阳系的第9个行星──冥王星.
海王星、冥王星的发现，显示了万有引力对研究天体运动的重要意义.
人造卫星
地球对周围的物体有引力的作用，因而抛出的物体要落回地面.但是，抛出的初速度越大，物体就会飞得越远.牛顿在思考万有引力定律时就曾设想过，从高山上用不同的水平速度抛出物体，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次离山脚远.如果没有空气阻力，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上来，它将围绕地球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星，简称人造卫星.
宇宙速度
人造卫星围绕地球转动时的速度究竟有多大呢？下面我们来计算一下，人造卫星沿圆形轨道绕地球运动时的速度.
设地球和卫星的质量分别为m′和m，卫星到地心的距离为r，卫星运动的速度为v.由于卫星运动所需的向心力是由万有引力提供的，所以
从（1）式可以看出，卫星距地心越远，它运行的速度越慢.虽然距地面高的卫星运行速度比靠近地面的卫星运行速度小，但是向高轨道发射卫星却比向低轨道发射卫星要困难.因为向高轨道发射卫星，火箭要克服地球对它的引力做更多的功.
对靠近地面运行的人造卫星，可以认为此时的r等于地球的半径R，在（1）式中把r用地球半径R代入，可以求出
这就是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，又称第一宇宙速度，也叫环绕速度.
如果人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km／s，而小于11.2
km／s，它绕地球运动的轨迹就不是圆形，而是椭圆.当物体的速度等于或大于11.2
km／s时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行.我们把这个速度叫做第二宇宙速度，也叫脱离速度.
达到第二宇宙速度的物体还受到太阳的引力.要想使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去，必须使它的速度等于或者大于16.7km／s，这个速度叫做第三宇宙速度，也叫逃逸速度.
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